‹-- Назад

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

        Теорема 19.1   Собственными числами матрицы $ A$ являются корни уравнения

$\displaystyle \vert A-{\lambda}E\vert=0$

и только они.

        Доказательство.     Пусть столбец $ {\alpha}$  -- собственный вектор матрицы $ A$ с собственным числом $ {\lambda}$ . Тогда, по определению, $ {A{\alpha}={\lambda}{\alpha}}$ . Это равенство можно переписать в виде $ {A{\alpha}-{\lambda}{\alpha}=0}$ . Так как для единичной матрицы $ E$ выполнено $ {E{\alpha}={\alpha}}$ , то $ {A{\alpha}-{\lambda}E{\alpha}=0}$ . По свойству матричного умножения $ {(A-{\lambda}E){\alpha}=A{\alpha}-{\lambda}E{\alpha}}$ и предыдущее равенство принимает вид

$\displaystyle (A-{\lambda}E){\alpha}=0.$ (19.4)

Допустим, что определитель матрицы $ {A-{\lambda}E}$ отличен от нуля, $ {\vert A-{\lambda}E\vert
\ne0}$ . Тогда у этой матрицы существует обратная $ {(A-{\lambda}E)^{-1}}$ . Из равенства (19.4) получим, что $ {{\alpha}=(A-{\lambda}E)^{-1}\cdot0=0}$ , что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что $ {\vert A-{\lambda}E\vert
\ne0}$ , неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$ .

Пусть $ {\lambda}$  -- корень уравнения $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$ . Тогда базисный минор матрицы $ {A-{\lambda}E}$ не может совпадать с определителем матрицы и поэтому $ {{\rm Rg}
(A-{\lambda}E)=r<n}$ , $ n$  -- порядок матрицы $ A$ . Уравнение (19.4) является матричной записью однородной системы линейных уравнений с неизвестными $ {{\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\ldots,\,{\alpha}_n}$ , являющимися элементами матрицы-столбца $ {\alpha}$ . По  теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе решений равно $ {n-r}$ , что больше нуля. Таким образом, система (19.4) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть числу $ {\lambda}$ соответствует хотя бы один собственный вектор матрицы $ A$ .     

Определитель $ {\vert A-{\lambda}E\vert}$ является многочленом степени $ n$ от переменного $ {\lambda}$ , так как при вычислении определителя никаких арифметических действий кроме сложения, вычитания и умножения выполнять не приходится.

        Определение 19.5   Матрица $ {A-{\lambda}E}$ называется характеристической матрицей матрицы $ A$ , многочлен $ {\vert A-{\lambda}E\vert}$ называется характеристическим многочленом матрицы $ A$ , уравнение $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$ называется характеристическим уравнением матрицы $ A$ .         

        Пример 19.10   Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$

Решение. Составляем характеристическую матрицу $ {A-{\lambda}E}$ :

$\displaystyle A-{\lambda}E=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end...
...}{ccc}1-{\lambda}&-3&4\\ 4&-7-{\lambda}&8\\ 6&-7&7-{\lambda}\end{array}\right).$

Находим характеристический многочлен

\begin{multline*}
\vert A-{\lambda}E\vert=\left\vert\begin{array}{ccc}1-{\lambd...
...-7-{\lambda})\big)=\\
=-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3.
\end{multline*}

Решим характеристическое уравнение

$\displaystyle -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=0.$

Подбором находим, что один корень уравнения равен $ -1$ . Есть теорема, которая говорит, что если число $ c$ является корнем многочлена $ {P(x)}$ , то многочлен $ {P(x)}$ делится на разность $ {x-c}$ , то есть $ {P(x)=(x-c)Q(x)}$ , где $ {Q(x)}$  -- многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен $ {-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3}$ должен делиться на $ {{\lambda}-(-1)}$ . Выделим в характеристическом многочлене этот множитель $ {{\lambda}+1}$ :

\begin{multline*}
-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=(-{\lambda}^3-{\lambda}...
...+3({\lambda}+1)=\\
=({\lambda}+1)(-{\lambda}^2+2{\lambda}+3).
\end{multline*}

Находим корни трехчлена $ {-{\lambda}^2+2{\lambda}+3}$ . Они равны $ -1$ и 3. Таким образом,

$\displaystyle -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=-({\lambda}+1)^2({\lambda}-3),$

$ {{\lambda}_1=-1}$  -- корень кратности 2 17.7 b, $ {{\lambda}_2=3}$  -- простой корень. Итак, собственные числа матрицы $ A$ равны $ {{\lambda}_1=-1}$ , $ {{\lambda}_2=3}$ . Найдем соответствующие им собственные векторы.

Пусть $ {{\lambda}=-1}$ , тогда для собственного вектора $ {\alpha}$ получаем матричное уравнение

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}2&-3&4\\ 4&-6&8\\ 6&-7&8\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ {\alpha}_3\end{array}\right)=0,$

что соответствует системе уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2+4{\alpha}_3=0,\\ 
...
...2+8{\alpha}_3=0,\\
6{\alpha}_1-7{\alpha}_2+8{\alpha}_3=0.
\end{array}\right.$

Решаем ее методом Гаусса (раздел "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)"). Выписываем расширенную матрицу системы

$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 4&-6&8&0\\ 6&-7&8&0\end{array}\right).$

Первую строку, умноженную на числа $ -2$ и $ -3$ прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам

$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 0&0&0&0\\ 0&2&-4&0\end{array}\right).$

Меняем местами вторую и третью строки

$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 0&2&-4&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$

Возвращаемся к системе уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2-4{\alpha}_3&0,\\
2{\alpha}_2+4{\alpha}_3&0\end{array}\right.$

Базисный минор матрицы $ A_2^*$ находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальня система содержит только одно решение. Переменные $ {\alpha}_1$ и $ {\alpha}_2$ оставляем в левой части, а переменное $ {\alpha}_3$ переносим в правую часть

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2&-4{\alpha}_3,\\
2{\alpha}_2&4{\alpha}_3\end{array}\right.$

Полагаем $ {{\alpha}_3=1}$ , находим $ {{\alpha}_2=2}$ , $ {{\alpha}_1=1}$ . Итак, собственному числу $ {{\lambda}_1=-1}$ соответствует собственный вектор $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$ .

Пусть $ {{\lambda}=3}$ , тогда для собственного вектора $ {\beta}$ получаем матричное уравнение

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}-2&-3&4\\ 4&-10&8\\ 6&-7&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ {\beta}_3\end{array}\right)
=0,$

что соответствует системе уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2+4{\beta}_3=0,\\ 4{\...
...beta}_2+8{\beta}_3=0,\\
6{\beta}_1-7{\beta}_2+4{\beta}_3=0.\end{array}\right.$

Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу

$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 4&-10&8&0\\ 6&-7&4&0\end{array}\right).$

Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам

$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 0&-16&16&0\\ 0&-16&16&0\end{array}\right).$

Вторую строку умножаем на $ -1$ и прибавляем к третьей

$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 0&-16&16&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$

Возвращаемся к системе уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2+4{\beta}_3&0,\\
-16{\beta}_2+16{\beta}_3&0\end{array}\right.$

Базисный минор матрицы $ A_2^*$ находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальная система содержит только одно решение. Переменные $ {\beta}_1$ и $ {\beta}_2$ оставляем в левой части, а переменное $ {\beta}_3$ переносим в правую часть

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2&-4{\beta}_3,\\
-16{\beta}_2&-16{\beta}_3\end{array}\right.$

Полагаем $ {{\beta}_3=1}$ , находим $ {{\beta}_2=1}$ , $ {{\beta}_1=0.5}$ . Итак, собственному числу $ {{\lambda}_1=-1}$ соответствует собственный вектор $ {{\beta}=\left(\begin{array}{r}0.5\\ 1\\ 1\end{array}\right)}$ . Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу $ {{\lambda}_2=3}$ соответствует собственный вектор $ {{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)}$ .

Ответ: Собственные числа: $ {{\lambda}_1=-1}$ , $ {{\lambda}_2=3}$ , соответствующие собственные векторы: $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$ , $ {{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)}$ .